f(a＋b) = f(a) + f(b) 一定说明 f(x) 是一次函数吗？

我这里给一个学过高等代数的人都能理解的简单反例，我们只需承认任何线性空间均有一组基即可。

原题等价于寻找R到R上的加法群同态，且不为R上的R-线性变换（y=kx），由于Abel群天生是Z模，且Q天然内嵌于R，R为Q上的线性空间，因此该同态必然成为Q-线性变换。

（很多答主都证过了，此处不细证） 由于线性空间一定存在一组基，且R为Q上的无限维线性空间（取2^（1/n）这个无穷集，其中任意n个向量Q线性无关），因此基一定是无穷集，…。